【NEW】数学のオリジナル難問に挑戦！夏期直前大特集

 

数学オリジナル難問に挑戦！夏直前大特集

四谷校算数・数学講師のＧＴＯより，毎月1題，関数・図形分野のオリジナル難問を

和算の『算額」のように出題しております。今回は，夏期直前特集号としまして，

この２か月間で創作したオリジナル問題のうち「珠玉の名作」と自負する関数・

図形問題を，なんと４問も放出してしまいます！

奮ってご参加ください。見事全問正解者には、オリジナル精選問題集（過去のHP

に掲載）をプレゼントします。

 

【夏期SP第一問】

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座標平面上の原点Oを中心とした半径6の半円があり，

x軸上との交点をA（－6,0），B（6,0），y軸との交点を

C （0,6）とする。

いま半円Oの弧ACB上を点Pが動き，また2定点Q，R

の座標をQ（－3,0），R（4,0）として，3点P，Q，Rを結ぶ。

これについて，次の各問いに答えよ。

(1)　PO＝PQのとき，PRの長さを求めよ。

 

(2)　⊿PQRが二等辺三角形になる点Pの位置は3つ考えられる。

　　そのときのそれぞれのx座標を小さい順にx₁，x₂，x₃とするとき，

　　(x₂－x₁ ) ： (x₃－x₂)　を最も簡単な整数比で表せ。

 

 (3)∠QPRが最大となるとき，

　　①　⊿PQRの外接円の半径を求めよ。

　　②　PQおよびPRの長さをそれぞれ求めよ。

 

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【夏期SP第二問】

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座標平面上に点A（1,a）があり，原点をO（0，0）とする。

いまx軸上に点P（p，0）をOP＝APとなるようにとり，

⊿OPAの外接円を描く。この外接円とy軸との原点以外の

交点をQ（0，q）とするとき，次の各問いに答えよ。

(1)　OP＝APに注意して，pをaを用いた式で表せ。

 

(2)　AP⊥AQに注意して，qをaを用いた式で表せ。

 

(3)　⊿OPAの面積をS，⊿OQAの面積をTとするとき，

　　S×T＝1 となるaの値を求めよ。

 

(3)　∠OPA＝36°のとき，

　　①　pの値を求めよ。

　　②　⊿OPAの外接円の面積を求めよ。

 

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【夏期SP第三問】

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座標平面上に2直線L；y＝(1＋a)x，M；y＝a(1－a)x　がある。

いまx軸上の点C（1，0）を中心とした半径1の円を描き，この

円と2直線L，Mとの原点以外の交点をそれぞれP，Qとすると

PQ＝√2となった。これについて，次の各問いに答えよ。ただし，

0＜a＜1とする。

 (1)　aの値を求め，2直線L，Mの式をそれぞれ求めよ。

 

(2)　2直線L，Mおよび弧PQで囲まれた部分の面積を求めよ。

 

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【夏期SP第四問】

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1辺が1である正三角形ABCが円Oに内接している。今，BC

の延長線上にCD＝aとなる点DをとりADを結ぶ。ADと円O

とのA以外の交点をEとするとき，次の各問いに答えよ。

 (1)　AE，CEの長さを，それぞれaを用いた式で表せ。

 

(2)　ACとBEの交点をFとする。AE＝CE＋EFとなるaの値

　　を求めよ。またそのときのBFの長さを求めよ。

 

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上記問題が解けた方は，駿台小中学部／四谷校までご連絡ください。

電話もしくはFAXで解答解説を送付いただく形でも構いません。

 

 

駿台小中学部 四谷校

〒160-0004　東京都　新宿区　四谷　１－１７－６

TEL　03-3359-9777　　FAX　03-3351-0654