駿台中学部ニュース

数学オリジナル問題に挑戦!冬期直前大特集

  • 2017年12月14日

数学オリジナル難問に挑戦!冬期直前大特集

四谷校算数・数学講師のGTOより,毎月1題,関数・図形分野のオリジナル難問を

和算の『算額」のように出題しております。今回は,冬期直前特集号としまして,

この初秋にで創作したオリジナル問題のうち「珠玉の名作」と自負する平面図形・

空間図形問題を,2問も放出してしまいます!

奮ってご参加ください。見事全問正解者には、オリジナル精選問題集(過去のHP

に掲載)をプレゼントします。

 

【冬期SP第一問】

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平行でない2平面α,β上にそれぞれ、半径2の円O1,半径1の円O2があり、

2平面の交線L上の点Tで接している。O1O2の直径をそれぞれATBT

すると、∠ATB120°となった。また2PQが円O2の円周上を自由に

動き回るとき、次の各問いに答えよ。


(1) Pから直径BTに垂線PHを引きBHxとする。このとき、APの長さを

  xを用いた式で表せ。またAP5のとき、BPの長さを求めよ。

 

 

(2) APAQ=√3:√2BPQT1:√2のとき

 ① APおよびAQの長さを求めよ。

  

 ② PQの長さは、PQの位置により2通り考えられる。そのうち長い方の

  PQの長さをm,短い方のPQの長さをnとするとき、m×nの値を求めよ。

 

 

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【冬期SP第二問】

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Oを中心とした2つの同心円があり、半径はそれぞれa0a1),1である。

半径1の円の円周上に4ABCDがあり、弦AC,弦BDが半径aの円の

円周上で垂直に交わっている。弦ACと弦BDの交点をEとして、次の各問いに

答えよ。

(1) BEED32のとき、次のそれぞれの場合についてaの値を求めよ。

 () BCBD のとき

 

 

 () BEDE=CE-AE のとき

 

 

 

(2) BEED31とする。弦BD,弦ACの長さをそれぞれaについての

  関数と見なし、それぞれf(a)g(a)とする。このとき、f(a)a×g(a)とな

  るaの値を求めよ。ただし、二重根号はそのままでよい。

 

 

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上記問題が解けた方は,駿台小中学部/四谷校までご連絡ください。

電話もしくはFAXで解答解説を送付いただく形でも構いません。

 

駿台小中学部 四谷校

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