数学オリジナル問題に挑戦！冬期直前大特集
- 2017年12月14日
数学オリジナル難問に挑戦！冬期直前大特集
四谷校算数・数学講師のＧＴＯより，毎月1題，関数・図形分野のオリジナル難問を
和算の『算額」のように出題しております。今回は，冬期直前特集号としまして，
この初秋にで創作したオリジナル問題のうち「珠玉の名作」と自負する平面図形・
空間図形問題を，２問も放出してしまいます！
奮ってご参加ください。見事全問正解者には、オリジナル精選問題集（過去のHP
に掲載）をプレゼントします。
【冬期SP第一問】
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平行でない2平面α，β上にそれぞれ、半径2の円O1，半径1の円O2があり、
2平面の交線L上の点Tで接している。O1，O2の直径をそれぞれAT，BTと
すると、∠ATB＝120°となった。また2点P，Qが円O2の円周上を自由に
動き回るとき、次の各問いに答えよ。
(1) Pから直径BTに垂線PHを引きBH＝xとする。このとき、APの長さを
xを用いた式で表せ。またAP＝5のとき、BPの長さを求めよ。
(2) AP：AQ＝√3：√2，BP：QT＝1：√2のとき
① APおよびAQの長さを求めよ。
② PQの長さは、P，Qの位置により2通り考えられる。そのうち長い方の
PQの長さをm，短い方のPQの長さをnとするとき、m×nの値を求めよ。
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【冬期SP第二問】
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Oを中心とした2つの同心円があり、半径はそれぞれa（0＜a＜1），1である。
半径1の円の円周上に4点A，B，C，Dがあり、弦AC，弦BDが半径aの円の
円周上で垂直に交わっている。弦ACと弦BDの交点をEとして、次の各問いに
答えよ。
(1) BE：ED＝3：2のとき、次のそれぞれの場合についてaの値を求めよ。
(ⅰ) BC＝BD のとき
(ⅱ) BE＋DE＝CE－AE のとき
(2) BE：ED＝3：1とする。弦BD，弦ACの長さをそれぞれaについての
関数と見なし、それぞれf(a)，g(a)とする。このとき、f(a)＝a×g(a)とな
るaの値を求めよ。ただし、二重根号はそのままでよい。
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上記問題が解けた方は，駿台小中学部／四谷校までご連絡ください。
電話もしくはFAXで解答解説を送付いただく形でも構いません。
駿台小中学部 四谷校
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